Question

[Thu Nguyễn]

1. Cho \(x,y,z>1\) và \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=2\) . Cmr \(\sqrt{x+y+z}\ge\sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}+\sqrt{z-1}\) 

2. Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn \(a+b+c=6\) . Tính Min của \(A=\dfrac{a^2}{b+c}+\dfrac{b^2}{a+c}+\dfrac{c^2}{a+b}\)

3. Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn  \(a^2+b^2+c^2=1\) . Tính min của \(B=a+b+c+\dfrac{1}{abc}\)

4. Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn \(a+b+c+ab+bc+ac=6\) . Tính Max của \(C=abc\)

5. Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn \(a+b+c=2\) . Tính Max của \(D=abc\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\)

Giúp mk nhanh nhé mn ơi

Answer 1

[Incursion_03]

Câu 3. Dự đoán dấu "=" khi \(a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
Dùng phương pháp chọn điểm rơi thôi :)

                             LG

Áp dụng bđt Cô-si được \(a^2+b^2+c^2\ge3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}\)

                                  \(\Rightarrow1\ge3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}\)

                                  \(\Rightarrow\frac{1}{3}\ge\sqrt[3]{a^2b^2c^2}\)

                                 \(\Rightarrow\frac{1}{27}\ge a^2b^2c^2\)

                                 \(\Rightarrow\frac{1}{\sqrt{27}}\ge abc\)

Khi đó :\(B=a+b+c+\frac{1}{abc}\)

   \(=a+b+c+\frac{1}{9abc}+\frac{8}{9abc}\)

\(\ge4\sqrt[4]{abc.\frac{1}{9abc}}+\frac{8}{9.\frac{1}{\sqrt{27}}}\)

 \(=4\sqrt[4]{\frac{1}{9}}+\frac{8\sqrt{27}}{9}=\frac{4}{\sqrt[4]{9}}+\frac{8}{\sqrt{3}}=\frac{4}{\sqrt{3}}+\frac{8}{\sqrt{3}}=\frac{12}{\sqrt{3}}=4\sqrt{3}\)

Dấu "=" \(\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}\)

Vậy .........

Answer 2

[kudo shinichi]

2, \(A=\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{a+c}+\frac{c^2}{a+b}\)

\(A=\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{a+c}+\frac{c^2}{a+b}\)

\(A=\left[\frac{a^2}{b+c}+\frac{\left(b+c\right)}{4}\right]+\left[\frac{b^2}{a+c}+\frac{\left(a+c\right)}{4}\right]+\left[\frac{c^2}{a+b}+\frac{\left(a+b\right)}{4}\right]-\frac{\left(a+b+c\right)}{2}\)

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(A\ge2.\sqrt{\frac{a^2}{4}}+2.\sqrt{\frac{b^2}{4}}+2.\sqrt{\frac{c^2}{4}}-\frac{\left(a+b+c\right)}{2}\)

\(A\ge a+b+c-\frac{6}{2}\)

\(A\ge6-3\)

\(A\ge3\)

Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(\frac{a^2}{b+c}=\frac{b+c}{4}\Leftrightarrow4a^2=\left(b+c\right)^2\Leftrightarrow2a=b+c\)(1)

                                 \(\frac{b^2}{a+c}=\frac{a+c}{4}\Leftrightarrow4b^2=\left(a+c\right)^2\Leftrightarrow2b=a+c\)(2)

                                 \(\frac{c^2}{a+b}=\frac{a+b}{4}\Leftrightarrow4c^2=\left(a+b\right)^2\Leftrightarrow2c=a+b\)(3)

Lấy \(\left(1\right)-\left(3\right)\)ta có:

\(2a-2c=c+b-a-b=c-a\)

\(\Rightarrow2a-2c-c+a=0\)

\(\Leftrightarrow3.\left(a-c\right)=0\)

\(\Leftrightarrow a-c=0\Leftrightarrow a=c\)

Chứng minh tương tự ta có: \(\hept{\begin{cases}b=c\\a=b\end{cases}}\)

\(\Rightarrow a=b=c=2\)

Vậy \(A_{min}=3\Leftrightarrow a=b=c=2\)